線性系統

在系統論中，線性系統是基于使用線性算子的系統的數學模型。線性系統通常表現出比非線性情況簡單得多的特征和屬性。

作為數學抽象或理想化，線性系統發現 在自動控制理論、信號處理和電信方面的重要應用。 例如，無線通信系統的傳播介質通?？梢杂镁€性系統建模。

一般的確定性系統可以由算子 H 描述，它將輸入 x(t) 作為 t 的函數映射到輸出 y(t)，這是一種黑盒描述。

一個系統是線性的，當且僅當它滿足疊加原理，或者等效地同時滿足可加性和齊性特性，沒有限制（即，對于所有輸入，所有縮放常數和所有時間。）

疊加原理意味著系統輸入的線性組合產生對應于各個輸入的各個零狀態輸出（即，將初始條件設置為零的輸出）的線性組合。

在滿足同質性的系統中，縮放輸入總是導致按相同因子縮放零狀態響應。 在滿足可加性屬性的系統中，添加兩個輸入總是導致添加相應的兩個零狀態響應，這是由于單獨的輸入。

對于任何標量值 α 和 β，對于任何輸入信號 x1(t) 和 x2(t)，以及所有時間 t。

然后系統由方程 H(x(t)) = y(t) 定義，其中 y(t) 是時間的某個任意函數，x(t) 是系統狀態。 給定 y(t) 和 H，系統可以求解 x(t)。

受復雜輸入影響的結果系統的行為可以描述為對更簡單輸入的響應的總和。 在非線性系統中，不存在這種關系。

這種數學特性使得建模方程的求解比許多非線性系統更簡單。對于時不變系統，這是脈沖響應或頻率響應方法的基礎，它們描述了一般輸入函數 x(t) 在單位脈沖或頻率分量方面。

線性時不變系統的典型微分方程非常適合在連續情況下使用拉普拉斯變換，在離散情況下使用 Z 變換（尤其是在計算機實現中）進行分析。

另一種觀點是，線性系統的解包含一個函數系統，其作用類似于幾何意義上的向量。

線性模型的一個常見用途是通過線性化來描述非線性系統。 這通常是為了數學上的方便。

前面對線性系統的定義適用于 SISO（單輸入單輸出）系統。

線性系統的這個定義類似于微積分中線性微分方程的定義，以及線性代數中的線性變換。

簡諧振子服從微分方程：

m d 2 ( x ) d t 2 = ? k x {dISPlaystyle m{frac {d{2}(x)}{dt{2}}}=-kx} 。

如果

H ( x ( t ) ) = m d 2 ( x ( t ) ) d t 2 + k x ( t ) {diSPlaystyle H(x(t))=m{frac {d{2}(x(t) )}{dt{2}}}+kx(t)} ,

那么H是一個線性算子。 令y(t) = 0，我們可以將微分方程重寫為H(x(t)) = y(t)，這表明簡諧振子是線性系統。